主成分分析（PCA）降维算法是机器学习和统计学中一种常用的数据降维技术，它通过正交变换将可能相关的变量转换为一组线性不相关的变量，这些新变量称为主成分。PCA的目的是降低数据的维度，同时尽可能保留数据中的变异信息。 PCA的动机通常来源于现实世界数据的一个特点，即数据点往往位于与原始数据空间相比维数更低的流形上。例如，一张脸的图片可能由成千上万个像素点组成，但是这些像素点之间存在很强的相关性，可能实际上是由一个人脸的有限个特征维度决定的。PCA的目标之一就是找到这些内在的、隐藏的特征维度，即“内在潜在维度”，并用尽可能少的主成分来描述数据集。 连续潜在变量模型是指那些以连续因素来控制我们观察到的数据的模型。与之相对的是拥有离散潜在变量的模型，如高斯混合模型（Gaussian Mixture Models）。连续潜在变量模型的训练通常被称为降维，因为潜在维度通常比观测维度少得多。 在进行PCA时，首先通常会进行数据标准化处理，使得每个特征的平均值为0，方差为1。这是因为PCA对数据的尺度敏感，如果某个特征的尺度很大，它将对主成分有很大影响，这可能不是我们所期望的。 接下来，计算数据的协方差矩阵，这能够反映数据特征间的相关性。然后，找出协方差矩阵的特征向量和对应的特征值。特征值表明了数据在对应特征向量方向上的方差大小，而特征向量则是主成分的方向。根据特征值的大小，将特征向量按照解释方差的能力排序，最大的特征值对应的特征向量是最重要的一维主成分，接下来的以此类推。 在标准的PCA分析中，我们通常选取最大的几个特征值对应的特征向量作为主成分，以此构建低维空间，把原始数据投影到这个新空间中。在降维的过程中，会丢失一些信息，但通常能够保留数据最重要的结构特性。 除了标准PCA，还存在其概率形式，即概率主成分分析（Probabilistic PCA），它假定潜在变量和观测变量都是高斯分布的。概率形式的PCA可以使用期望最大化（EM）算法来进行参数估计，同时还衍生出了混合PCA和贝叶斯PCA等变体。 概率PCA的优点在于其模型的灵活性，比如可以更容易地处理缺失数据、引入先验知识等。此外，概率PCA提供了一个统计框架来评估数据降维的不确定性，这在很多实际应用中非常有用。 另外，PCA在实际应用中也存在一些局限性。例如，PCA假设主成分是正交的，这意味着主成分之间的相关性为零。但在某些情况下，我们可能希望降维后的数据能够保留原始数据中某些变量间的相关性，这种情况下，PCA可能不是最佳选择。此外，PCA对异常值较为敏感，因为PCA的主成分是基于数据的整体分布来确定的，异常值可能会影响主成分的正确识别。 总而言之，PCA降维算法是一种强大的工具，它在数据压缩、可视化、特征提取以及降维等领域应用广泛。其核心目标是通过线性变换将高维数据转换到由主成分构成的低维空间，同时尽量保留原始数据的结构特征。通过理解和掌握PCA算法，可以对数据进行有效的处理和分析。

特征降维是机器学习和数据挖掘中的关键技术，它旨在减少数据集的维度，同时保持数据的主要特性，以提高模型的效率和准确性。线性投影 pursuit（LPP）是一种非线性的降维方法，它通过保留数据之间的局部结构来达到降维目的。在Python中实现LPP，我们可以利用numpy、scipy等科学计算库来完成。下面我们将详细介绍LPP算法的原理、Python实现以及其在实际应用中的重要性。 ### LPP算法原理 局部线性嵌入（Locality Preserving Projections, LPP）是由He和Niyogi在2003年提出的一种降维方法。LPP的核心思想是保留原始数据的局部相似性。在高维空间中，数据点的近邻关系被看作是其在低维空间中应保持的重要信息。LPP通过最小化高维到低维空间的近邻点距离的加权平方和来实现这一目标。 假设我们有数据集X，通过构建邻接矩阵W，其中W[i][j]表示数据点i与j的相似度。然后，LPP的目标是最小化以下损失函数： \[ \min_{U \in \mathbb{R}^{d \times n}} tr(U^T H U) \] 其中，H是对角矩阵，其对角元素为W矩阵对应行的归一化值，即\( H_{ii} = \sum_j W_{ij} \)；U是映射矩阵，将高维数据映射到低维空间。 通过求解这个优化问题，可以得到LPP的投影矩阵，进一步用于数据降维。 ### Python实现步骤 1. **数据预处理**：我们需要对数据进行标准化，使得所有特征的均值为0，方差为1。这可以通过使用`sklearn.preprocessing.StandardScaler`完成。 2. **构造邻接矩阵**：根据数据的相似性度量（如欧氏距离或余弦相似度），计算数据点之间的相似度，形成邻接矩阵W。可以使用`scipy.spatial.distance.pdist`和`scipy.spatial.distance.squareform`计算距离，然后转换为相似度。 3. **计算H矩阵**：对W进行归一化，形成H矩阵。 4. **解决LPP优化问题**：LPP的优化问题可以通过奇异值分解（SVD）来求解。计算W的共轭转置乘以H，即\(WH\)，然后进行SVD分解。取前k个最大的奇异值对应的右奇异向量作为投影矩阵U的列，其中k是我们希望的降维维度。 5. **数据降维**：用投影矩阵U对原始数据进行线性变换，实现降维。 ### 实际应用 LPP在许多领域都有广泛的应用，如图像识别、人脸识别、文本分类等。由于其能保持数据的局部结构，LPP在处理非线性数据时表现出色。在Python中，我们可以结合scikit-learn库，将LPP与其他机器学习模型（如SVM、KNN等）结合起来，以提升模型性能。 LPP算法提供了一种有效且直观的手段来降低数据的复杂性，同时保持数据的关键信息。通过Python实现，我们可以轻松地将LPP应用于实际项目中，以解决各种数据降维挑战。对于想要深入了解和应用特征降维的Python开发者来说，理解并掌握LPP算法的实现至关重要。

经典降维算法局部保持投影LPP算法的matlab代码，希望对需要降维算法的童鞋有所帮助

matlab降维算法工具箱，内含多种降维方法

SVD算法是一个降维算法，是很多机器学习领域算法的基础。 SVD算法是线性代数中一种重要的矩阵分解，是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。

numpy复现pca降维算法内含数据集

包含IG,MI,CHI等降维算法和NB,CENTROID,SVM分类算法

全局非线性降维算法CIsomapの研究.pdf

利用半监督降维算法预测蛋白质亚细胞位置

随着计算机技术的发展，在各种领域如计算机视觉、人脸识别、生物信息以及医学上都面临着高维数据的难题。高维数据中往往包含了冗余信息和噪声。数据降维是将高维数据投影至低维空间并保持数据本身固有的结构，在过去几十年里被众多学者不断地研究并取得了很大进展。在人脸识别中，入脸图像往往由于受到光照，表情和姿势的影响而难以识别，降维算法可以提取人脸图像中有效特征，去除其中的冗余和干扰，提高识别率。