非线性系统与控制理论基础:相对阶与零动态(Lie导数)
Lie导数是研究非线性系统动态行为的重要工具,它提供了一种在流形上度量向量场之间相互作用的方式。考虑一个从R^n到R的函数λ和从R^n到R^n的向量场f,都在开集U上定义,且λ在U上具有C1连续性。Lie导数Lfλ(x)定义为λ沿着f的导数,计算公式为Lfλ(x) = ∂λ(x)/∂x * f(x),即λ关于x的偏导数与f(x)的内积。通过重复应用Lie导数,我们可以得到LgLfλ(x)和Lkfλ(x)的形式。
举例来说,我们可以分析一维情况,如x∈R,λ(x) = x^2,f(x) = √x。这时,可以计算出Lfλ(x) = 2x * √x,以及Lλf(x) = 1/2 * √x * x^2。另一个二维例子是,x∈R^2,λ(x1, x2) = x21,f(x1, x2) = [x21 + x22, x31 + x32]^T。此时,Lfλ(x1, x2) = 2x1 * (x21 + x22)。
接下来,我们讨论非线性系统的零动态。零动态是指系统在某种特定输入下,其输出与输入无关的部分。这涉及到相对阶的概念。相对阶r是在点x0处,如果满足以下两个条件,则非线性单输入单输出(SISO)系统ẋ = f(x) + g(x)u,y = h(x)的相对阶为r:
1. 在x0的邻域内,对于所有k < r - 1,LgLkfh(x) = 0。
2. LgLr−1fh(x0) ≠ 0。
需要注意的是,可能存在相对阶无法定义的点。如果LgLkfh(x) = 0 对于所有k ≥ 0,那么在t0附近,系统的输出不会受到输入的影响。
例如,Van der Pol振荡器系统是一个典型的例子,其动力学方程为:
ẋ = [x2^2 * ωζ(1 - µx1^2), x2 - ω^2x1]^T + [0, 1]^Tu
其中,y = x1时,相对阶为2;而y = sin(x2)时,相对阶为1(在定义的范围内)。
相对阶的解释是:在t = t0时刻,输出y需要被导数多少次,才能显式地表现出输入u(t0)的值。如果g(x)是向量值函数,即g(x) = [g1(x), ..., gn(x)]^T,那么:
- 当k = 0时,y = h(x),dy/dt = ∂h/∂x * ẋ = Lfh + Lgh * u。
- 当k = 1时,假设Lgh = 0(满足条件1),则有˙y = Lfh,d²y/dt² = ∂(Lfh)/∂x * (f(x) + g(x)u) = L2fh + LgLfh * u。
如果LgLfh ≠ 0,则r = 2(满足条件2),否则r可能小于2。
总结起来,Lie导数是分析非线性系统动态的关键工具,它帮助我们理解系统中不同部分如何相互作用。相对阶和零动态则为设计控制器提供了依据,特别是在确保输出对输入敏感性或无响应性时。理解和掌握这些概念对于非线性控制系统的设计和分析至关重要。
2025-04-11 15:25:11
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零动力学
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