### 排队论（Queueing Theory） #### 一、排队理论概述 排队理论是一种数学工具，用于分析和预测排队系统的行为。排队系统普遍存在于日常生活和工业生产中，例如银行、医院、电话呼叫中心等场景。当顾客的需求超过了服务能力时，就会形成排队现象。 #### 二、排队系统的组成 排队系统主要包括三个部分：输入过程、排队规则和服务机构。 1. **输入过程** - **顾客源**：顾客来源分为无限源和有限源。无限源指的是顾客来源数量理论上无限大，如电话呼叫；有限源则指顾客来源数量有限，例如车间里待修理的机器。 - **到达规律**：顾客到达的时间间隔分布，常见的有定长分布(D)、负指数分布(M)和k阶爱尔朗分布(E_k)。 2. **排队规则** - **损失制**：如果所有服务台都被占用，新到来的顾客会离开系统。 - **等待制**：顾客会在队列中等待直到被服务。 - 先到先服务（First Come First Serve, FCFS） - 后到先服务（Last Come First Serve, LCFS） - 优先级服务（Priority Service, PS） - **混合制**：结合了损失制和等待制的特点，如限制队列长度或等待时间。 3. **服务机构** - **服务台个数**：可以是单个服务台或多个服务台。 - **服务规律**：服务时间的分布，包括定长分布(D)、负指数分布(M)、k阶爱尔朗分布(E_k)和一般分布(G)。 #### 三、排队模型的表示方法 排队模型的表示通常采用Kendall记号，即(X/Y/Z/A/B/C)，分别表示： - X：顾客到达时间间隔的分布 - Y：服务时间的分布 - Z：服务台个数 - A：系统容量 - B：顾客源数量 - C：服务规则 例如，M/M/1/∞/∞/FCFS表示的是一个典型的简单排队模型：顾客到达间隔和服务时间均为负指数分布，有一个服务台，顾客源和系统容量都是无限的，采用先到先服务的规则。 #### 四、排队问题的求解 解决排队问题的目标是优化系统性能，使得顾客等待时间和系统成本达到最佳平衡。主要关注以下几个关键指标： 1. **队长和排队长** - 队长(Ls)：系统中的顾客总数 - 排队长(Lq)：正在排队等待服务的顾客数 2. **逗留时间和等待时间** - 逗留时间(W)：顾客在系统中的总停留时间 - 等待时间(Wq)：顾客在队列中等待的时间 #### 五、顾客到达的规律 顾客到达规律的描述涉及两个主要特征： - **无后效性**：任意时间段内的顾客到达数不受之前时间段的影响。 - **平稳性**：顾客到达是均匀分布的。 - **稀有性**：在很短的时间内，只可能有一个顾客到达。 符合以上特征的顾客到达模式被称为泊松流。泊松流的概率分布公式为： \[ P(n, \lambda t) = \frac{(\lambda t)^n e^{-\lambda t}}{n!} \] 其中，\( n \) 表示在时间 \( t \) 内到达的顾客数，\( \lambda \) 是单位时间内顾客到达的平均数。 排队理论的应用非常广泛，可以帮助设计和优化各种服务系统，提高效率并减少顾客等待时间。通过对不同类型的排队模型进行分析，可以为决策者提供有价值的参考信息，以便更好地管理资源和服务流程。

基于WITNESS的医院排队系统研究，卞齐昊，，医院的排队问题是目前医院系统普遍观注的问题，如何在不增加医院运营成本，或者少增加医院运营成本的基础上，提高医院服务效率，

多重休假M/G/1排队系统队长分布的数值计算，陈燕，唐应辉，近几十年来,由于休假排队系统在许多领域的广泛应用, 休假排队系统得到了深入研究,通过使用补充变量法和嵌入的马尔可夫链方法获得�

为了解决现实生产生活中的具有两阶段服务性质的休假排队问题,利用马尔可夫过程理论建立系统稳态概率方程组,并利用分块矩阵解法,得到了稳态概率的矩阵解。由此得出系统的平均队长、平均等待队长等性能指标。该成果对解决两阶段服务排队模型具有重要的理论意义和应用价值。

为了使通讯系统P2P更有效地应用到现实生活中,建立了Geom/Geom/(Geom/Geom)的双输入排队系统并对其研究.利用拟生灭链和矩阵几何解的方法,得到了稳态下系统中的平均顾客数和平均服务台数的表达式,通过数值例子分析了有关参数对平均顾客数和平均服务台数的影响,说明该模型能够有效地分析一些实际的问题.该成果对通讯系统P2P的研究与应用具有一定的参考价值和指导意义.

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由服务器，取号机，多个客户端组成的银行排队系统，实现了取号机取号，柜台叫号等待等多种功能

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宁波大红鹰学院 信息工程学院 课 程 设 计 报 告 "项目名称： "银行排队系统 " "项目组长： "白钰琦 " "项目成员： "项鸿伟、徐海域、徐程凯 " "班级名称： "10计科1 " "专业名称： "计算机科学与技术 " "完成时间: "2012年11月27日 " 信息工程学院制 目 录 一、 系统总体描述 - 1 - 二、模块设计（包括文档设计、项目流程设计） - 1 - 三、程序设计（界面设计、后台详细设计） - 3 - 四、设计总结 - 7 - 五、设计总结 - 16 - 1、完成情况 - 16 - 2、心得体会 - 16 - 系统总体描述 银行排队系统是利用现代网络通信技术和计算机信息管理技术来代替传统排队的系统， 从本质上改善传统排队管理所存在的拥挤、嘈杂、混乱现象，避免各种不必要的纠纷。 通过使用排队系统，由传统的客户站立排队改变为取票进队、排队等待、叫好服务，由 传统物理的多个队列变为一个逻辑队列，使"先来先服务"的思想得到更好地贯彻。 本系统可以实现银行排队的主要业务活动。本系统分为以下6个功能模块: （1）顾客到达。分为VIP客户和普通客户进行排队拿号，普通客

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