"整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性" 整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性是计算机科学和数学领域中的一个重要问题。在这篇论文中，作者介绍了一种新型的Las Vegas概率算法来计算非奇异整数矩阵的精确逆矩阵，该算法的期望运行时间为O(n^3(log A + log κ(A))),其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。同时，作者也将这个算法扩展到多项式矩阵的情况，并证明了该算法的正确性和效率。 在整数矩阵的情况下，作者首先引入了矩阵的条件数κ(A)，然后使用Las Vegas概率算法计算矩阵的精确逆矩阵。该算法的期望运行时间为O(n^3(log A + log κ(A))),其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。该算法的正确性和效率都是通过严格的数学证明来保证的。 在多项式矩阵的情况下，作者引入了多项式矩阵的概念，并证明了该算法的正确性和效率。作者证明了对于非奇异多项式矩阵，使用该算法可以在O(n^3d)时间内计算出矩阵的精确逆矩阵，其中d是多项式的最高次数。 该论文在整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性方面取得了重要的进展，提供了一种高效和正确的算法来计算矩阵的精确逆矩阵。 知识点： 1. 整数矩阵的条件数κ(A)是矩阵的重要性质，它决定了矩阵的稳定性和计算的复杂性。 2. Las Vegas概率算法是一种高效的算法，可以用于计算矩阵的精确逆矩阵。 3. 多项式矩阵是矩阵的一种特殊形式，它的元素是多项式函数。 4. 多项式矩阵的求逆是计算机科学和数学领域中的一个重要问题。 5. O(n^3(log A + log κ(A)))是整数矩阵求逆的复杂度估计，其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。 6. O(n^3d)是多项式矩阵求逆的复杂度估计，其中d是多项式的最高次数。 7. 在计算矩阵的精确逆矩阵时，需要考虑矩阵的条件数κ(A)和条件数的影响。 该论文在整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性方面取得了重要的进展，提供了一种高效和正确的算法来计算矩阵的精确逆矩阵。

设计了求解稀疏优化模型的加速线性Bregman算法，该稀疏优化模型可以理解成基追踪模型的一个近似。设计的加速算法主要基于Lagrange对偶和SVD预条件方法两个技术。由Lagrange对偶理论可知，线性Bregman 算法等价于梯度法极小化对偶问题的目标函数，由此可以推导出线性Bregman算法的收敛速度与矩阵A的条件数有关。据此，通过使用SVD预条件方法改善了A的条件数从而加快了线性Bregman 算法，还考虑了Ax=b不相容的情况，通过等价变换和SVD技术极大地降低了对偶问题的规模，从而设计出有效的加速算法。最后模拟了两个数值实验，验证了算法在速度上的优势。

对于一个方程组的求解问题，通常会考虑到条件数，条件数太大，计算机求解会出现极大的误差，影响到后续工作的进行，需要对条件数进行预估。

北航数值分析第一次大作业，用幂法和反幂法求矩阵的特征值进而求出2范数条件数。上下边带压缩以提高运行速度，计算完所有矩阵的条件数耗时约12秒

A = RANDCONDMAT(n, cond, options) 生成条件数等于cond的随机nxn矩阵。 A = RANDCONDMAT(...,'对称') 生成对称A。 A = RANDCONDMAT(...,'positive') 生成正定（对称或不对称）A。 A = RANDCONDMAT(...,'norm', nrm) 强制 A 的矩阵范数等于 nrm。 默认为 1。 此实用程序可用于各种数值算法测试。 例子： n=100； nchecks = 100 t=zeros(nchecks,1); er=zeros(nchecks,1); 对于 i=1:nchecks； cnd = 30*i; A = RandCondMat(n,cnd,'对称','正'); b = rand(n,1); 抽动; x = pcg(A,b); t(i)=toc； er(i) = 范数(b -

论文，分析了矩阵条件数、矩阵的病态、和二者的关系，以及改善方法