### 线性系统理论知识点概述 #### 一、线性系统的状态空间描述 线性系统理论是一门研究线性系统特性和行为的学科，在控制工程、信号处理等多个领域都有广泛应用。状态空间方法是现代控制理论的核心内容之一，它通过一组状态变量来描述系统的动态特性，从而提供了一种更加全面和深入的系统分析方法。 #### 二、状态和状态空间的概念 - **状态变量**：描述系统内在属性的一组变量，它们能够充分表征系统在某一时刻的特性。例如，对于一个机械系统来说，状态变量可能包括位置和速度。 - **状态空间**：所有可能的状态变量值构成的空间。在状态空间中，每个点都对应着系统的一个特定状态。 #### 三、线性系统的状态空间描述 - **状态方程**：描述了状态变量如何随时间变化的微分方程或差分方程。对于连续时间系统，状态方程通常是一阶微分方程组；而对于离散时间系统，则是一阶差分方程组。 - 形式：\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \] 其中，\( x(t) \) 是状态向量，\( u(t) \) 是输入向量，\( A \) 和 \( B \) 分别是系统矩阵和输入矩阵。 - **输出方程**：描述了系统的输出与状态变量及输入之间的关系。输出方程通常为代数方程。 - 形式：\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \] 其中，\( y(t) \) 是输出向量，\( C \) 和 \( D \) 分别是输出矩阵和直接传递矩阵。 #### 四、连续变量动态系统按状态空间描述的分类 - 根据系统的稳定性、可控性、可观测性等因素，可以将连续变量动态系统分为不同的类别，这对于系统的分析和设计非常重要。 #### 五、由系统输入输出描述导出状态空间描述 - **从传递函数到状态空间**：给定一个系统的传递函数，可以通过一系列数学变换将其转化为状态空间形式。这一过程通常涉及多项式的因式分解、矩阵运算等。 - **从微分方程到状态空间**：直接从系统的微分方程出发构建状态方程和输出方程，这是状态空间描述构造的基本方法。 #### 六、线性时不变系统的特征结构 - **特征值与特征向量**：特征值和特征向量是分析线性系统的重要工具，它们可以帮助我们理解系统的稳定性、响应特性等。 - **约当规范形**：状态方程可以被转化为约当规范形，这是一种特殊的矩阵形式，有助于简化系统的分析和计算。 #### 七、由状态空间描述导出传递函数矩阵 - 通过状态方程和输出方程，可以推导出系统的传递函数矩阵。这一过程对于理解系统的外部行为以及进行控制系统的设计非常重要。 #### 八、线性系统在坐标变换下的特性 - **坐标变换**：通过适当的坐标变换，可以改变状态空间描述的形式，但不会改变系统的本质特性。这有助于找到更简单的状态方程形式，便于分析和设计。 #### 九、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 - 当考虑多个子系统相互连接形成复杂系统时，需要研究这些子系统如何相互作用，并通过状态空间描述或传递函数矩阵来综合分析整个系统的行为。 #### 十、MATLAB运用和小结 - **MATLAB**：MATLAB 是一种强大的数值计算软件，广泛应用于线性系统理论的教学和研究中。利用MATLAB可以方便地实现状态空间描述的构建、系统的仿真、特征值的计算等功能。 - **小结**：状态空间方法为理解和分析线性系统提供了一个强大的框架，它不仅能够揭示系统的内部结构，还能够帮助我们设计有效的控制策略。通过对状态方程、输出方程以及各种转换技术的学习，我们可以更好地掌握现代控制理论的核心思想和技术手段。

线性系统理论和设计-仝茂达(中科大) 线性系统理论和设计-仝茂达(中科大) 考研专用

线性系统理论(第2版)/郑大钟,清华大学出版社,2002

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线性系统理论(陈启宗）第四次作业

脉冲响应矩阵和状态空间描述 结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为 结论：①两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵 ②两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。 结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系： 6/7,20/29

LINEAR SYSTEM THEORY AND DESIGN, Third Edition, Chi-Tsong Chen 线性系统理论第三版，Chi-Tsong Chen著

系统的结构特征量 输出矩阵 传递函数矩阵 设方多输入多输出连续时间线性时不变系统 结构特性指数定义为： 0 ≤ di ≤ n-1, i = 1,2,···,p 两种定义等价

针对线性系统理论，郑大钟，清华大学出版社,2002年版的课件

特征向量和广义特征向量 n维连续时间线性时不变系统　　　　　　，i为A的特征值 (1) 特征向量的几何特性 (2) 特征向量的不唯一性 (3) 单特征值所属特征向量的属性 　　对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{1、 2、… n}的相应一组特征向量{1、 2、… n}为线性无关，当且仅当特征值{1、 2、… n}为两两互异。 特征向量： 特征向量的属性：