本文主要研究了一类四阶差分方程的多重周期解问题，并在恰当的空间上构造了合适的变分结构，运用多重临界点定理来给出这类差分方程多重周期解存在性的充分条件。文章的主要知识点如下： 1. 四阶差分方程的定义和基本形式： 差分方程是数学中研究离散时间动态系统的重要工具，其中四阶差分方程是差分方程的一种，其特点是涉及未知序列的四阶差分。四阶差分方程的一般形式是将序列的四阶差分纳入方程，表达式中包含了序列的值及其高阶差分。在本文中，具体研究的四阶差分方程形式为∆2(rn−2∆2xn−2)+f(n,xn)=0，其中∆为前差分算子，定义为∆xn=xn+1−xn，∆2xn=∆(∆xn)。 2. 变分结构的构造： 在数学分析中，变分法是用来寻找函数极值的方法，而在研究差分方程时，构造适当的变分结构可以帮助我们理解差分方程解的性质。通过在适当的函数空间内构造方程的变分结构，可以将差分方程转化为优化问题，进而利用数学分析中的优化原理来研究方程解的性质。在本文中，变分结构的构造是关键步骤，它为应用多重临界点定理提供了基础。 3. 多重临界点定理的应用： 临界点是泛函分析中的一个概念，指的是在定义域内某点的泛函导数为零的点。多重临界点定理是研究非线性泛函问题中找到多个临界点的一种数学工具。在研究四阶差分方程的周期解时，运用多重临界点定理可以帮助我们获得差分方程多重周期解存在性的充分条件，进而证明差分方程的多重周期解的存在性。 4. 关键概念的理解： - 前差分算子∆及其迭代形式∆2：前差分算子用于计算序列中相邻元素的差值，∆2是差分算子的二次应用，用于计算差分的差分。 - 多重周期解：在给定差分方程的背景下，多重周期解是指满足方程并具有周期性质的解。对于四阶差分方程，多重周期解意味着解是周期的，并且这种周期性可以重复出现。 5. 研究方法和理论的重要性： 本文的研究对于理解四阶差分方程解的结构提供了重要的理论支持，并且在离散数学和动态系统的分析中具有一定的应用价值。多重周期解的存在性分析有助于揭示差分方程解的复杂性，对于预测和控制离散系统的动态行为具有重要意义。 6. 研究的支持与作者简介： 本研究得到了中国国家自然科学基金和中国高等教育博士点专项科研基金的资助。文章由周见文和王艳宁撰写，分别来自云南大学数学系。周见文为副教授，主要研究方向为微分方程及其应用；王艳宁为讲师，同样专注于微分方程及其应用。 本文通过构造变分结构和应用多重临界点定理，研究了一类特定四阶差分方程的多重周期解问题，并得到了两个多重周期解存在定理。这些研究成果对于进一步研究差分方程和动态系统具有重要的理论和实践意义。

Duffing型p-Laplacian方程的周期解，魏元鸿，史少云，本文研究一类Duffing型p-Laplacian方程的周期解问题.利用Manasevich-Mawhin 连续性定理，得到周期解的存在性的一些新的结果.

《偏微分方程与有限元方法》是数学与工程科学领域的重要著作，由Pavel Solin撰写，属于Wiley-Interscience系列丛书的一部分。该书详细介绍了如何运用有限元方法求解偏微分方程，为读者提供了一个深入浅出的学习路径。 ### 偏微分方程 偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是在多个自变量的函数及其偏导数之间建立关系的方程。它们在物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用，例如热传导方程、波动方程以及流体动力学方程等。PDEs的求解对于理解物理现象、预测系统行为至关重要。 ### 有限元方法 有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值解法，用于求解复杂的偏微分方程问题。它的基本思想是将连续问题离散化，即将一个复杂区域划分为许多小的单元（称为有限元），然后在这些单元上近似求解原始问题。这种方法能够处理具有复杂几何形状和边界的物理系统，是现代工程计算的重要工具之一。 ### 如何利用有限元求解偏微分方程 #### 1. 函数空间的构建 有限元方法首先涉及到的是函数空间的选取，即选择哪些函数来近似原问题的解。通常情况下，会选用多项式函数作为基函数，因为它们易于操作且能很好地逼近各种复杂函数。 #### 2. 离散化过程 接下来，需要对原始的连续问题进行离散化，将整个问题域划分为一系列的有限单元。每个单元内部的解可以用单元上的节点值来表示，而节点之间的插值则由选定的基函数决定。 #### 3. 弱形式的形成 为了得到适合数值求解的形式，原问题常常被转化为其弱形式。这意味着原方程被乘以一个测试函数并积分，从而得到了一个更易于处理的变分方程。通过在每个单元上应用这种转化，可以得到一组关于节点未知数的代数方程组。 #### 4. 求解代数方程组 最后一步是求解由此产生的代数方程组，这通常是通过迭代或直接求解技术完成的。一旦求得了节点值，就可以在整个问题域内重建解的近似值。 ### 应用实例 有限元方法在解决实际工程问题时表现出了强大的能力。例如，在结构力学中，它可以用来分析桥梁、建筑物等结构在不同载荷下的响应；在流体力学中，可以模拟空气流动或液体流动；在热传导问题中，可以预测热量分布等。 ### 结论 《偏微分方程与有限元方法》一书不仅深入浅出地讲解了有限元方法的基本原理，还提供了丰富的理论与实践指导，是学习和研究这一领域的宝贵资源。通过掌握有限元方法，工程师和科学家们能够更准确地建模和预测复杂的物理现象，推动科学技术的发展。

求解大规模单调非线性方程组的多元谱梯度投影算法，喻高航，牛善洲，本文提出了一个求解大规模非线性单调方程组的多元谱梯度投影方法并建立了算法的全局收敛性定理. 本文算法具有如下的优点:par(1) 算�

非强制Hamilton-Jacobi方程组成的单调系统的均匀化，王俊芳，赵培浩，本文研究了一类一阶与时间有关的Hamilton-Jacobi方程组成的单调系统的均匀化. 并且证明了振荡系统的解一致收敛于均匀化系统的解.

Differential Equations for Dummies (ISBN - 0470178140)

This book provides an introduction to the use of geometric partial differential equations in image processing and computer vision. It brings a number of new concepts into the field, providing a very fundamental and formal approach to image processing. State-of-the-art practical results in a large number of real problems are achieved with the techniques described. Applications covered include image segmentation, shape analysis, image enhancement, and tracking. The volume provides information for people investigating new solutions to image processing problems as well as for people searching for existent advanced solutions.

带跳多值随机微分方程不变测度的存在性、唯一性，关岳，巫静，本文主要研究L'evy驱动的多值随机微分方程解过程的指数遍历性问题。通过$L^2$-收敛结果,结合Girsanov变换、耦合方法和停止理论,对方程的

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具无穷时滞的分数阶抽象积分-微分方程S-渐近ω-周期弱解的存在性，王奇，王志杰，本文讨论了具无穷时滞的分数阶抽象积分-微分方程S-渐近ω-周期弱解的存在性问题,利用压缩映射原理得到了上述方程S-渐近ω-周期弱解的