Ghoussoub-Preiss 的山路引理对给定能量的Hamiltonian系统周期解的应用，张世清，，我们应用带有Cerami-Palais-Smale 型条件的Ghoussoub-Preiss广义山路引理对给定能量的一些二阶Hamiltonian系统研究了新的周期解的存在性.

具有不对称性非线性项平面哈密顿系统周期解的存在性，袁荣，王在洪，本文研究了具有不对称性平面哈密顿系统周期解的存在性。在非共振条件下应用Poincare-Bohl定理证明了所给定系统至少存在一个周期解。

Rabinowitz鞍点定理是一种在数学特别是变分法和临界点理论中应用广泛的一个重要工具，尤其在研究Hamilton系统中的周期解问题时发挥着关键作用。在这篇论文中，作者张世清通过应用Rabinowitz鞍点定理，探讨了一类奇异二阶Hamilton系统的存在性问题。这些系统由于其奇异性质，给研究带来了许多困难。特别是当系统没有对称性时，要证明(PS)+条件变得尤为复杂。 让我们来了解一下什么是Hamilton系统。Hamilton系统是一类动态系统，可以用Hamilton函数来描述系统的总能量，即势能和动能之和。Hamilton系统在物理学中有广泛的应用，如在经典力学、量子力学以及天体力学等领域。而所谓的奇异Hamilton系统，则是指这类系统在某些点或某些区域会出现无法定义的情况，比如出现在势能函数的奇点处。 文章中提到的奇异二阶Hamilton系统的一般形式为二阶微分方程¨u=−V0(t,u)，其中V(t,x)为定义在Ω上的函数，并且是时间t的T-周期函数。系统参数的奇异性可能会导致其能量泛函在某些点上不具有可微性，这就使得寻找系统的周期解变得异常困难。 Rabinowitz鞍点定理则为这种困难提供了解决的途径。鞍点定理是基于临界点理论中的莫尔斯理论（Morse theory）发展起来的，它提供了一种寻找临界点（即Hamilton系统的解）的方法。鞍点定理的核心是（PS）条件，即对于一个给定的泛函序列，如果它们是有界的并且满足所谓的（PS）条件，则该泛函序列必有收敛的子序列。这里的（PS）条件是指所谓的Palais-Smale条件，它要求泛函在无穷远处有界并且满足水平集的紧性条件。 文章还提到了一些关于势能函数V(t,x)的条件，这些条件有助于确保寻找周期解过程中所必须的（PS）条件得到满足。具体来说，条件(V1)和条件(V2)至(V4)分别涉及了势能函数V(t,x)在原点附近以及无穷远处的行为。条件(V1)要求在原点附近存在一个区域，势能函数的梯度行为受某个函数控制。而条件(V2)到(V4)则分别描述了势能函数在无穷远处趋于无穷小、趋于无穷大或者既不趋于无穷小也不趋于无穷大的情况。 在满足这些条件的基础上，文章引用了之前研究者们得到的一些定理结果，比如Greco和Bahri-Rabinowitz的定理。这些定理为研究者提供了寻找非恒定的T周期C2解的方法，或者在特定条件下寻找唯一的非零解。 总结来说，Rabinowitz鞍点定理为研究者提供了一种强有力的工具，通过这个工具可以证明在特定条件下奇异Hamilton系统存在周期解。张世清在这篇论文中正是应用了这一理论，成功地为一类没有对称性的奇异Hamilton系统找到了新的周期解。这篇文章不仅是对Rabinowitz鞍点定理在Hamilton系统研究中应用的拓展，也进一步丰富了Hamilton系统理论的研究内容。

本文的研究主题是关于离散哈密顿系统（Discrete Hamiltonian Systems）多重周期解的存在性问题。哈密顿系统在物理学中广泛出现，尤其是在经典力学和量子力学中。离散哈密顿系统是连续哈密顿系统的离散化版本，它在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。 为了探讨这个问题，作者庾建设和宾红华采用了Morse理论作为主要的数学工具。Morse理论由美国数学家马斯顿·莫尔斯（Marston Morse）提出，是一种用于研究流形上的拓扑性质和微分方程解的理论，它基于临界点理论，将流形的拓扑性质与其上的函数的临界点联系起来。 文章主要讨论了离散哈密顿系统的非线性项在无穷远处是渐近线性或者超线性两种情况下，多重周期解的存在性。渐近线性意味着随着变量趋于无穷大时，非线性项的行为类似于线性项；而超线性则意味着非线性项的增长速度超过线性项。 在研究中，作者建立了一个离散哈密顿系统的模型方程，表示为： ∆u1(n) = −Hu2(n,u1(n+1),u2(n)), ∆u2(n) = Hu1(n,u1(n+1),u2(n)), 其中u1,u2属于RN（N为正整数），∆ui(n)表示ui(n+1)与ui(n)的差分，i=1,2。研究中假设函数H在第一变量中是T周期的，在第二变量u1和第三变量u2中是C2类的光滑函数。 文章还提到了其他作者对于离散哈密顿系统的研究成果。例如，Ahlbrandt和Peterson等人研究了边界值问题；Guseinov和Kaymakcalan等人通过Lyapunov不等式研究了离散共轭性质和稳定性准则；Bohner等人探讨了离散哈密顿系统的特征值问题、离散共轭性质以及Sturm定理等。这些研究工作虽然各有贡献，但关于离散哈密顿系统周期解问题的研究却不多。 为了解决这一问题，庾建设和宾红华采用了极小极大理论（minimax theory）来获得离散哈密顿系统周期解和亚周期解的存在性，最近的成果发表在相关的研究文献[15]中。极小极大理论是一种变分方法，它被用来寻找泛函的临界点，特别是极值点。 文章还提到了研究得到了中国国家自然科学基金和广东省自然科学基金的支持。这意味着研究工作的开展得到了国家和地方科研资金的资助，这些基金通常支持具有重要科学意义和应用前景的基础研究项目。 本文通过运用Morse理论和极小极大理论，重点探讨了在离散哈密顿系统中，非线性项的不同性质下多重周期解的存在性问题。这不仅丰富了离散哈密顿系统理论的研究，也对离散动力系统的稳定性和周期性问题提供了新的研究方法和理论支持。此外，文章也体现了在这一领域中国科学家的贡献，并展示了该领域的研究趋势。

一些二阶Hamiltonian系统的周期解，张世清，，我们利用Benci-Rabinowitz 及Silva 的鞍点定理来研究一些没有任何对称性的二阶Hamiltonian守恒系统的给定能量的周期解的存在性.证明的关键困�

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