二、李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫第二方法又称李雅普诺夫直接法 ,应用这一方法可在不解微分方程的条件下 确定系统的稳定性 ,因此这一方法有很大的优越性。 对于由式 (2. 1 1 ) 描述的系统 �X = f ( X, t) (2 .1 1) 如果 f (0 , t) = 0 (2 .1 6) 则系统可能的平衡状态 Xe = 0 ,即为坐标原点 0。 为了分析系统的稳定性 ,李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数 ,称为李雅普诺夫函数。分 析这一函数的性质 ,就可解析地分析系统的稳定性。下面讨论李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳 定性定理及其应用。 (一 ) 李雅普诺夫函数 图 2. 1 3 质量 阻尼器 弹簧系统 对于一个机械振动系统 ,如果系统的总能量随 着时间 t的增长而连续地减少 ,直到平衡状态为止 , 则系统是稳定的。在这种情况下 ,系统的总能量对时 间的导数是负的。为了说明问题 , 先举一个质量 阻 尼器 弹簧的机械系统例子 ,如图2 .1 3 所示。 系统的自由运动方程为 m̈y + f�y + ky = 0 (2 .1 7) 式中 m为物体的质量 ; y为物体的位移 ; f 为阻尼系 数 ; k为弹簧刚度。取状态变量为 x1 = y , x2 = �y ,则 可得系统状态方程 �X = 0 1 - k m - 1 f X (2 .1 8) 式中 X = [ x1 x2 ] T 。设系统静止时 y = 0 和�y = 0 ,即 x1 = 0 和 x2 = 0 , Xe = [ 0 0 ] T 为系 统静止状态或平衡状态。 系统含有两个贮能元件 :质量和弹簧。因此 ,系统的总能量等于贮存在质量中的动能和贮 存在弹簧中的势能之和 ,即 V ( X, t) = 1 2 mx 2 2 + 1 2 kx 2 1 (2 .1 9) 总能量 V ( X, t) 恒为正 ,即当 X≠ 0时 , V ( X, t) > 0。当 X = 0时 , V ( 0) = 0。V ( X , t) 称为李雅 普诺夫函数。 求 V ( X, t) 对时间 t的导数 dV d t = �V �x 1 �x1 + �V �x 2 �x2 = kx1�x 2 1 + mx2�x2 ( 2 .1 10) 由式 (2 .1 8 ) 可得 —7—

线性定常离散系统渐进稳定性判别 设系统状态方程： 其中 -非奇异阵， 是平衡状态。 设

有限演化博弈收敛性的李雅普诺夫函数法

2、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中的一切非零点x满足： (1)、V(x)正定且有界 (2)、V(x)对时间t的导数 负定 (3)、当 时，有V(x) 则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。 对于定常系统： 对t0成立f(0)=0。

随着耦合强度的变化，给定的代码可以找到耦合振荡器系统的最大李雅普诺夫指数 (LLE)。 全局变量“be”和“gm”是表示两个耦合振荡器的耦合微分方程中的系统特定参数。 'gm' 是变化的耦合强度。 每个轨迹的初始条件包括两个振荡器的初始坐标和速度。 变量“ t0”和“ tf”代表每个时间序列的起点和终点，而“ N”是每个时间序列的步数。 在第 32 行和第 33 行中，调用函数 ode_RK4_Yang() 以通过 Runge-Kutta (RK4) 方法对两组初始条件中的每组的耦合微分方程进行数值求解。 其余的描述以注释的形式给出了代码本身。

频率解析Matlab代码基于RNN的强化学习框架，可确保稳定的最佳频率 该存储库包含重现以下论文中显示的结果所必需的源代码： 作者：崔文琦和张宝森 华盛顿大学 动机 除了传统的线性下垂控制器以外，基于逆变器的资源的渗透率的提高还为我们提供了电力系统频率调节方面的更多灵活性。 由于具有快速的电源电子接口，与线性控制器相比，基于逆变器的资源可用于实现复杂的控制功能，并可能在性能上带来较大的收益。 通过将参数化为神经网络来发现这些非线性控制器，强化学习已成为一种流行的方法。 基于学习的方法面临的主要挑战是，很难对学习到的控制器强制执行稳定性约束。 另外，电力系统的时间耦合动力学将大大减慢神经网络的训练。 在本文中，我们建议对基于神经网络的控制器的结构进行显式设计，以确保所有拓扑和参数的系统稳定性。 这可以通过使用Lyapunov函数来指导其结构来完成。 基于递归神经网络的强化学习架构用于有效地训练控制器的权重。 最终的控制器仅使用本地信息并优于线性下降，以及仅通过使用强化学习而学习到的策略。 从提出的框架中学到的灵活的非线性控制器 在这里，我们展示了与线性下降控制相比，神经网络控制器的作用

LLE 最大的李雅普诺夫指数； 李雅普诺夫指数谱。

本压缩包里是求解连续型混沌系统的李雅普诺夫指数谱的程序，仿真平台为Matlab。

本压缩包里是求解连续型混沌系统的李雅普诺夫指数谱的程序，仿真平台为Julia+jupyter。

本压缩包里是求解连续型混沌系统的李雅普诺夫指数谱的程序，仿真平台为Dev C++。