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作者: 潘晏仲 出版社: 西安交通大学出版社 译者: 李洪军 出版年: 1999年10月1日 页数: 494 页 定价: 19.0 装帧: 平装 ISBN: 9787560511214 内容简介 · · · · · · 本书内容主要包括一元多项式，矩阵理论，线性方程组理论，向量空间，内积空间，线性变换及相似标准形理论，对称双线性函数与二次型理论及其应用，仿射几何，欧式几何理论，还介绍了代数系统与射影几何理论。　　全书以现代数学的思想和语言统筹高等代数与高等几何的全部基本理论及内容，充分体现它们各自的独立性及统一性，使代数与几何有机地成为一体。　　本书可作为理工科院校数学类各专业的高等代数及高等几何（含空间解析几何）教材或教学参考书。

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题三答案，王军版，清华大学出版社、北京交通大学出版社

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三、李雅普诺夫稳定性理论的应用 李雅普诺夫稳定性理论在系统稳定性分析和系统设计中得到较多的应用。下面讨论李雅 普诺夫第二方法在线性系统稳定性分析中的应用。 设系统的状态方程为 �X = AX ( 2 .1 15) 式中 X为 n维状态向量 ; A为 n× n维常数矩阵。选下列二次型函数为可能的李雅普诺夫函数 V ( X) = X T PX ( 2 .1 16) 式中 P为 n× n对称正定矩阵 ,求 V 对时间 t的导数 �V = dV d t = �X T PX + X T P�X = ( AX ) T PX + X T PAX = X T ( A T P + PA ) X ( 2 .1 17) 由于 V ( X ) 取正定 ,如果要使系统渐近稳定 ,必须使�V ( X ) 为负定 ,即要求 �V = - X T QX ( 2 .1 18) 式中 - Q = A T P + PA ( 2 .1 19) 因此使一个线性系统稳定的充分条件是 Q必须为正定。可先选取一个正定 Q阵 , 然后用式 (2 .1 18) 求解 P,再根据 P是否正定来判定系统的渐近稳定性。这比选一个正定的 P,再检查 Q阵是否也是正定要方便得多。P为正定是一个必要条件。为方便计 , Q阵常取为单位阵 I ,此时 P的元素可按下式确定 A T P + PA = - I ( 2 .1 20) 例 2 .1 1 设系统状态方程为 �X = AX 式中 —9—

二、李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫第二方法又称李雅普诺夫直接法 ,应用这一方法可在不解微分方程的条件下 确定系统的稳定性 ,因此这一方法有很大的优越性。 对于由式 (2. 1 1 ) 描述的系统 �X = f ( X, t) (2 .1 1) 如果 f (0 , t) = 0 (2 .1 6) 则系统可能的平衡状态 Xe = 0 ,即为坐标原点 0。 为了分析系统的稳定性 ,李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数 ,称为李雅普诺夫函数。分 析这一函数的性质 ,就可解析地分析系统的稳定性。下面讨论李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳 定性定理及其应用。 (一 ) 李雅普诺夫函数 图 2. 1 3 质量 阻尼器 弹簧系统 对于一个机械振动系统 ,如果系统的总能量随 着时间 t的增长而连续地减少 ,直到平衡状态为止 , 则系统是稳定的。在这种情况下 ,系统的总能量对时 间的导数是负的。为了说明问题 , 先举一个质量 阻 尼器 弹簧的机械系统例子 ,如图2 .1 3 所示。 系统的自由运动方程为 m̈y + f�y + ky = 0 (2 .1 7) 式中 m为物体的质量 ; y为物体的位移 ; f 为阻尼系 数 ; k为弹簧刚度。取状态变量为 x1 = y , x2 = �y ,则 可得系统状态方程 �X = 0 1 - k m - 1 f X (2 .1 8) 式中 X = [ x1 x2 ] T 。设系统静止时 y = 0 和�y = 0 ,即 x1 = 0 和 x2 = 0 , Xe = [ 0 0 ] T 为系 统静止状态或平衡状态。 系统含有两个贮能元件 :质量和弹簧。因此 ,系统的总能量等于贮存在质量中的动能和贮 存在弹簧中的势能之和 ,即 V ( X, t) = 1 2 mx 2 2 + 1 2 kx 2 1 (2 .1 9) 总能量 V ( X, t) 恒为正 ,即当 X≠ 0时 , V ( X, t) > 0。当 X = 0时 , V ( 0) = 0。V ( X , t) 称为李雅 普诺夫函数。 求 V ( X, t) 对时间 t的导数 dV d t = �V �x 1 �x1 + �V �x 2 �x2 = kx1�x 2 1 + mx2�x2 ( 2 .1 10) 由式 (2 .1 8 ) 可得 —7—

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