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### AC自动机详解 #### 一、AC自动机概述 AC自动机(Aho-Corasick Automaton)是一种经典的字符串匹配算法，特别适用于处理多个模式串的匹配问题。它结合了KMP算法的思想以及字典树（Trie）的结构特点，能够有效地在文本中查找一组模式串的所有出现位置。相比于简单的模式匹配算法，AC自动机具有更高的效率，其时间复杂度为O(n+m+z)，其中n为所有模式串总长度之和，m为目标串长度，z为模式串在目标串中出现的次数。 #### 二、问题描述 在给定的目标串T[m]中寻找一组模式串P={p1,...,pk}的所有出现位置。这里n=|p1|+...+|pk|，即所有模式串的总长度。 #### 三、基本概念 1. **关键词树（Keyword Tree/Trie）** - **定义**：关键词树是一种用于存储关键字集合的数据结构，通常用于快速查找。它是一种特殊的树形结构，其中每个节点代表一个关键字的前缀。 - **特性**： - 每条边的值是一个字符。 - 从一个节点出发的任意两条边的值都不相同。 - 节点v的值L(v)定义为从根节点到节点v的路径上所有边的值的序列。 - 对于任意模式串pi，都能找到一个节点v使得L(v)==pi。 - 对于任意的叶子节点v，都能找到一个pi使得L(v)==pi。 2. **AC自动机的构造** - 构建过程：首先构建关键词树，然后通过添加额外的信息（如fail函数等）来完成自动机的构造。 - **时间复杂度**：构建关键词树的时间复杂度为O(n)，构建整个AC自动机的时间复杂度也为O(n)。 #### 四、AC自动机的核心组件 1. **goto函数g(q,a)** - 定义：给出当前状态q和输入字符a，返回从状态q出发沿着值为a的边到达的新状态。 - 特殊情况：如果从状态q出发没有值为a的边，则g(q,a)=0，表示自动机保持在初始状态。 2. **fail函数f(q)** - 定义：给出状态q，返回当从状态q出发匹配失败时应该转移到的状态。 - 目标：尽可能利用之前已经匹配成功的部分，减少不必要的重复匹配。 3. **output函数out(q)** - 定义：输出在状态q时，所有匹配的模式串。 - 实现：当状态q对应于一个或多个模式串的结尾时，记录这些模式串。 #### 五、AC自动机的工作原理 1. **匹配过程** - 初始化状态q=0。 - 遍历目标串T[m]的每一个字符T[i]。 - 使用goto函数更新状态q。 - 当匹配失败时，使用fail函数调整状态q，直到找到一个可以继续匹配的状态或回到初始状态。 - 在每次状态更新后调用output函数，输出所有匹配的模式串。 2. **时间复杂度分析** - 匹配时间复杂度为O(m+z)，其中z为模式串在目标串中出现的次数。 - 这表明AC自动机能够在常数时间内处理每个字符，整体性能非常高效。 #### 六、示例 假设模式串集合P={"he","she","his","hers"}，构建关键词树如下： ``` root | (h) (e) / \ \ h e s / \ | / \ (e) (i) (r) (s) (i) | | | | | he i r s s | | | | his his hers she | (e) | hers ``` 1. **构建过程** - 从根节点开始，依次插入模式串。 - 插入过程中，如果路径不存在，则创建新的节点和边。 - 插入完毕后，构建fail函数等附加信息。 2. **匹配过程** - 假设目标串T="she sells sea shells by the sea shore"。 - 利用AC自动机进行匹配，输出匹配到的模式串及其位置。 #### 七、总结 AC自动机是一种高效的多模式字符串匹配算法，它通过结合关键词树和附加的信息结构，实现了对多个模式串的快速匹配。与传统的模式匹配算法相比，AC自动机不仅具有较高的匹配效率，还能一次性处理多个模式串，非常适合于大规模文本搜索和处理场景。