光束法平差模型

### 光束法平差模型详解 #### 一、引言 光束法平差是在摄影测量领域中广泛应用的一种计算方法，它通过整合外方位元素和模型点坐标的计算过程，提高了整体精度与效率。本文将详细介绍光束法平差模型的理论基础，包括旋转矩阵的四元素表示法以及光束法平差模型的具体步骤。 #### 二、旋转矩阵的四元素表示法 在摄影测量中，为了减少计算复杂度并避免奇异问题，常采用四元素表示旋转矩阵。这种方法由Pope提出，并被Hinsken进一步发展成为P-H算法。 **2.1 四元素条件** 四元素\(d, a, b, c\)需要满足特定条件，即： \[ d^2 + a^2 + b^2 + c^2 = 1 \] **2.2 构造正交矩阵** 基于这四个参数，可以构建两个正交矩阵\(P\)和\(Q\)，进而形成旋转矩阵\(R\)： \[ P = \left[ \begin{array}{ccc} d^2 + a^2 - b^2 - c^2 & 2(ab + dc) & 2(ac - db) \\ 2(ab - dc) & d^2 - a^2 + b^2 - c^2 & 2(bc + da) \\ 2(ac + db) & 2(bc - da) & d^2 - a^2 - b^2 + c^2 \end{array} \right] \] \[ Q = \left[ \begin{array}{ccc} d^2 - a^2 - b^2 + c^2 & 2(ab + dc) & 2(ac - db) \\ 2(ab - dc) & d^2 - a^2 + b^2 - c^2 & 2(bc + da) \\ 2(ac + db) & 2(bc - da) & d^2 + a^2 - b^2 - c^2 \end{array} \right] \] 由此，旋转矩阵\(R\)可以表示为： \[ R = P \cdot Q^\top \] 这种表示方式能够简化旋转矩阵的计算过程，并避免了传统旋转矩阵表示法中的多值性和奇异性问题。 #### 三、光束法平差模型 光束法平差的核心在于将外方位元素和模型点坐标的计算置于同一优化过程中。它基于共线方程式的数学模型，并通过迭代逐步逼近最优解。 **3.1 共线方程式的表达** 假设摄影中心\(S\)的世界坐标为\((S_x, S_y, S_z)\)，空间点\(M\)的坐标为\((X, Y, Z)\)，而\(M\)在影像上的构象为\(m\)，其像平面坐标为\((x, y, -f)\)。根据S、m、M三点共线关系，可以得出共线方程式： \[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{-f}{n} = \rho \] 其中，\(\rho\)为比例系数，\(l, m, n\)分别为旋转矩阵的行向量，\((x_0, y_0, f)\)为影像内方位元素。 **3.2 共线方程式的线性化** 为了进行最小二乘法计算，需要对非线性的共线方程式进行线性化处理。线性化后的误差方程可以表示为： \[ \Delta l_i = A_{i} \cdot \Delta X \] 其中，\(\Delta l_i\)为观测值与理论值之间的残差，\(\Delta X\)为未知数改正数组，\(A_i\)为系数矩阵。 **3.3 误差方程式的建立** 结合线性化的共线方程式和观测数据，可以建立误差方程式。对于控制点还需要考虑权重赋值，以便更准确地反映数据质量。 **3.4 法方程式的建立** 根据最小二乘原理，建立法方程式以求解未知数改正数。对于加密点，仅需列出误差方程式；而对于控制点，则需要同时列出误差方程式和虚拟误差方程式。 **3.5 结果判定** 迭代计算直到未知数改正数满足预设的限差条件为止。迭代过程中，初始值的选择对收敛速度有很大影响。实践中，常用的方法是先进行空间后方交会获得初步的外方位元素，以此作为迭代过程的初始值。 ### 四、总结 光束法平差模型是一种高效的摄影测量计算方法，它通过整合外方位元素和模型点坐标的计算过程，提高了整体精度与效率。通过对旋转矩阵的四元素表示法和光束法平差模型的详细阐述，我们可以更好地理解这一方法的基本原理及其在实际应用中的优势。未来，随着计算机技术的发展，光束法平差模型将在更多领域发挥重要作用。