标准型与准标准型-全同态加密方案

6.4 标准型与准标准型  由命题 6.4 给出的局部坐标变换(6.25)可将非线性系统(6.4)变换成(6.26)，实际上(6.26) 式具有某种标准的形式，即这些新坐标的选择使得描述系统的方程具有很规则的结构形式， 称为 Byres-Isidori 标准型。 下面推导系统(6.4)在新坐标下的表达式(6.26)的具体描述。对于 1, , rz z ，有 1 1 2 2 d d d d d d ( ( )) ( ( )) ( ) f z x h x t x t x t L h x t x t z t φ φ ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = = 2 1 1 1 ( ( ( )))d d d d d d ( ( )) ( ( )) ( ) r fr r r f r r L h x tz x x t x t x t L h x t x t z t φ φ − − − − ∂∂ = = ∂ ∂ = = = 对于 rz ，有 1d ( ( )) ( ( )) ( ) d r rr f g f z L h x t L L h x t u t t −= + (6.27) 将坐标由 ( )x t 转换为 ( )z t ，即将 1( ) ( ( ))x t z t−= Φ 代入式(6.27)，并令 1 1 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) r g f r f a z L L h z b z L h z − − − = Φ = Φ 则式(6.27)可重写为 d ( ( )) ( ( )) ( ) d rz b z t a z t u t t = + 根据定义在点 0 0( )z x= Φ 处， 0( ) 0a z ≠ ，从而对于 0z 的某一个邻域内的所有 z ， ( ( ))a z t 不 为零。 对于其它的新坐标，如果没有给出其它信息，无法知道相应得方程组的任何特定结构。 如果选择 1( ), , ( )r nx xφ φ+ 使得(6.22)式成立，则有 d ( ( ( )) ( ( )) ( )) d ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) i i f i g i f i z f x t g x t u t t x L x t L x t u t L x t φ φ φ φ ∂ = + ∂ = + = (6.28) 令 1( ) ( ( )), 1i f iq z L z r i nφ −= Φ + ≤ ≤ ，则(6.28)式可重写为