Multiple periodic solutions for a class of fourth-orderdifference equations

本文主要研究了一类四阶差分方程的多重周期解问题，并在恰当的空间上构造了合适的变分结构，运用多重临界点定理来给出这类差分方程多重周期解存在性的充分条件。文章的主要知识点如下： 1. 四阶差分方程的定义和基本形式： 差分方程是数学中研究离散时间动态系统的重要工具，其中四阶差分方程是差分方程的一种，其特点是涉及未知序列的四阶差分。四阶差分方程的一般形式是将序列的四阶差分纳入方程，表达式中包含了序列的值及其高阶差分。在本文中，具体研究的四阶差分方程形式为∆2(rn−2∆2xn−2)+f(n,xn)=0，其中∆为前差分算子，定义为∆xn=xn+1−xn，∆2xn=∆(∆xn)。 2. 变分结构的构造： 在数学分析中，变分法是用来寻找函数极值的方法，而在研究差分方程时，构造适当的变分结构可以帮助我们理解差分方程解的性质。通过在适当的函数空间内构造方程的变分结构，可以将差分方程转化为优化问题，进而利用数学分析中的优化原理来研究方程解的性质。在本文中，变分结构的构造是关键步骤，它为应用多重临界点定理提供了基础。 3. 多重临界点定理的应用： 临界点是泛函分析中的一个概念，指的是在定义域内某点的泛函导数为零的点。多重临界点定理是研究非线性泛函问题中找到多个临界点的一种数学工具。在研究四阶差分方程的周期解时，运用多重临界点定理可以帮助我们获得差分方程多重周期解存在性的充分条件，进而证明差分方程的多重周期解的存在性。 4. 关键概念的理解： - 前差分算子∆及其迭代形式∆2：前差分算子用于计算序列中相邻元素的差值，∆2是差分算子的二次应用，用于计算差分的差分。 - 多重周期解：在给定差分方程的背景下，多重周期解是指满足方程并具有周期性质的解。对于四阶差分方程，多重周期解意味着解是周期的，并且这种周期性可以重复出现。 5. 研究方法和理论的重要性： 本文的研究对于理解四阶差分方程解的结构提供了重要的理论支持，并且在离散数学和动态系统的分析中具有一定的应用价值。多重周期解的存在性分析有助于揭示差分方程解的复杂性，对于预测和控制离散系统的动态行为具有重要意义。 6. 研究的支持与作者简介： 本研究得到了中国国家自然科学基金和中国高等教育博士点专项科研基金的资助。文章由周见文和王艳宁撰写，分别来自云南大学数学系。周见文为副教授，主要研究方向为微分方程及其应用；王艳宁为讲师，同样专注于微分方程及其应用。 本文通过构造变分结构和应用多重临界点定理，研究了一类特定四阶差分方程的多重周期解问题，并得到了两个多重周期解存在定理。这些研究成果对于进一步研究差分方程和动态系统具有重要的理论和实践意义。