### 道路改造项目中碎石运输的设计 #### 一、问题背景及目标 本研究针对平原地区的一项道路改造项目进行分析。该项目的目标是在A、B两点之间建设一条长200公里、宽15米、平均铺设厚度为0.5米的直线形公路。为了完成这项任务,需要从S1、S2两个采石点运输碎石,并将这些碎石铺设在这条新公路上。碎石成本为每立方米60元。 #### 二、问题重难点分析 - **关键因素**: - 碎石的成本和运输成本。 - 临时道路的建设成本。 - 水路运输的可能性及其成本。 - 临时码头的建设需求及成本。 - **核心问题**: - 如何规划临时道路和码头,以最小化总成本? - S1和S2两处分别应该提供多少碎石? - 总体预算控制在最低限度。 #### 三、问题解决方案 ##### 1. 建立直角坐标系以确定相对位置 - **关键点坐标**: - A(0,100): 起始点。 - B(200,100): 终止点。 - S1(20,120): 第一采石点。 - S2(180,157): 第二采石点。 - m4(50,100): 河流与AB线的交点。 - **河流流向**: - 上游:m1→m4, 抛物线方程:f(x) = -1/8y^2 + 25y - 1200。 - 下游:m4→m7, 抛物线方程:f2(x) = 3/50y^2 - 12y + 650。 ##### 2. 临时道路与码头建设 - **最优路径分析**: - 通过MATLAB计算,确定了S1到第一段水路的最短距离,即点m(x,y)的坐标为(18.9,115.76)。 - 计算得到L1(S1到m的距离)约为4.76公里,L2(m到m4的弧长)约为37.6公里。 - **选择E点**: - 在AB道路上选取一点E,使得从S1经过m→m4→E运输碎石的总费用等于S2到E运输碎石的总费用。 - E点的选择直接影响到临时道路的长度,从而影响整体成本。 ##### 3. 碎石运输量的分配 - **碎石运输量计算**: - 从S1运输的碎石量为945000立方米,从S2运输的碎石量为587000立方米。 - 这样的分配方式确保了总费用最低,约为17.32亿元。 #### 四、数学模型构建 ##### 1. 模型假设 - 单向铺设道路,且能立即投入使用。 - 不考虑天气等因素导致的额外成本。 - 忽略车辆运输途中的其他费用。 ##### 2. 字符说明 - mi(x,y): 河流上的点坐标。 - m(x,y): 河流到S1最短距离的点坐标。 - L1: 点S1到点m(x,y)的距离。 - L2: 弧mm4的弧长。 - w: m4到E的距离。 - c: 铺设整条路的总费用。 ##### 3. 模型求解过程 - 通过建立数学模型,确定了最优的碎石运输方案。 - 使用MATLAB进行数据处理和求解,得到了最优解。 - 最终确定了从S1和S2两处分别运输的碎石量,以及临时道路和码头的具体布局。 #### 五、结论 通过对道路改造项目中碎石运输的设计进行详细分析,本研究成功地解决了如何最小化总体成本的问题。通过合理的路径规划和碎石运输量分配,不仅确保了工程能够顺利完成,而且有效地控制了成本,达到了预期的效果。这一研究成果对于类似的工程项目具有重要的参考价值。

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