实验1 建立不允许缺货的生产销售存储模型。设生产速率为常数k, 销售速率为常数r, k>r.在每个生产周期内T内,开始的一段时间( ),一边生产一边销售,后来的一段时间 只销售不生产,画出储存量 的图形。设每次生产准备费为 ,单位时间每件产品储存费为 以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论 和 的情况。
实验2 阅读实验教材第五章中的最速降线问题以及本目录中的参考材料,了解最速降线问题的原理和求解的方法。
实验3 阅读本目录中的铅球掷远问题的求解,完善该模型,给出该问题的完整数学模型,并利用Matlab进行求解。
【Matlab优化模型求解】
在数学模型的构建和求解过程中,Matlab是一个强大的工具,尤其在优化问题中,它提供了多种内置的优化算法和工具箱,使得模型的求解变得更为便捷。本实验主要涉及到三个实际问题,分别是不允许缺货的生产销售存储模型、最速降线问题和铅球掷远问题。
1. **生产销售存储模型**
- **模型设定**:在生产销售存储模型中,生产速率k和销售速率r是常数,且k>r。生产周期T内,前一段时间一边生产一边销售,后一段时间仅销售不生产。每次生产准备费为c1,单位时间每件产品储存费为c2。目标是最小化总费用。
- **模型建立**:利用微积分,可以将储存量q(t)表示为时间t的函数,分两段:q(t)=(k-r)*t (生产销售阶段),q(t)=k*(T-t)-r*t (仅销售阶段)。根据图示,可以推导出最优生产周期T与k、r的关系k*r*T=k^2。
- **费用计算**:总费用C'包括生产准备费和储存费,C'(T)=[(k-r)^2*T]/2+c1。平均每天费用C(T) = C'(T)/T,分析k和r对费用的影响,当k>>r时,总费用增加,反之则减少。
2. **最速降线问题**
- **问题原理**:这是一个经典物理问题,寻找质点从A到B下滑时间最短的曲线,称为最速降线。解这个问题需要利用变分法,通过函数极值和基本引理,得到最速降线的方程:x=c(t-sint), y=c(1-cost),其中c是待定参数,由边界条件确定。
- **摆线**:最速降线实际上是摆线,它是圆在直线上的滚动轨迹。通过选取不同半径的圆,摆线可以经过任何第一象限的点,包括点B(x2, y2)。
3. **铅球掷远问题**
- **模型假设**:铅球抛出后沿抛物线运动,忽略空气阻力,已知初速度V,出手高度h,角度θ,重力加速度g。
- **模型建立**:分别计算铅球上升和下降的时间、高度,水平位移。铅球的水平距离R由初速度Vx和总时间t决定,其中Vx=V*sinθ,t=t1+t2,t1和t2分别是上升和下降时间,通过微分求解最优投掷角度。
在实际应用Matlab解决这些问题时,可以使用内置的优化函数如`fmincon`或`fminunc`来寻找目标函数的最小值。对于生产销售模型,可以设定T为变量,构造目标函数C(T)并求解。对于最速降线和铅球掷远问题,可能需要利用数值方法如四阶龙格-库塔法或牛顿法来求解方程组,或者直接对角度θ进行优化,以最大化投掷距离。
通过这些实验,学生不仅可以掌握Matlab的优化求解技巧,还能深入理解实际问题背后的数学模型和物理原理。同时,通过编写和运行Matlab程序,提高了解决实际问题的能力。
2025-05-07 23:40:25
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